测量系统的偏倚
题库中有涉及到偏倚的题目，说将一个500克的砝码，放在台秤上去称重，测量20次，结果发现均值为510克，问偏倚是否合格。但是，教材中并没有明确偏倚的好坏判定标准，故作此文，供大家参考。
一．偏倚的概念
所谓偏倚，就是测量平均值与真值的差，书中178，181页有关于偏倚的介绍。其示意图如图一所示。
图一：偏倚示意图
二.如何判断偏倚的好坏
我曾经看过一个BBC纪录片《一根绳子有多长》，讲述了为了测量一根绳子的真实长度，从学校到研究所的过程。
以目前的技术手段来看，偏倚肯定是存在的，那么我们如何确定偏倚是否可以接受呢？
我们用以下思路解决该问题。
图二：六西格玛解决问题的过程
首先，实际问题是，测量系统的偏倚是否可以接受。如何将该问题变为统计问题？
从偏倚的定义来看，理想状态下，测量值=真值，那就意味着：
真值-测试值=0
也就是说偏倚为零。
这里说的0，并未每次测量值与真值完全一致，绝对为0 的概念，而是偏倚是一个以0为中心的正态分布。
因此转换为统计问题就是，偏倚是否为0.
即H0:偏倚=0 VS H1:偏倚≠0
这里我们需要想象一个以0为均值的正态分布（H0），图中黑色实线，以及一个均值不为0的正态分布（H1），图中红色虚线。
图三：偏倚是否为0的假设分布情况
书上P181页的例子，其实也是这个思路。
理论铺垫到此为此，我们来实践一下，我们引用《MSA第三版》中的一个例子来看，对一个标准值为6克的砝码进行15次测量，结果如下，问偏倚是否能接受。
|
测试值 |
5.8 |
5.7 |
5.9 |
5.9 |
6 |
6.1 |
6 |
6.1 |
6.4 |
6.3 |
6 |
6.1 |
6.2 |
5.6 |
6 |
按照偏倚的公式，我们用真实值-测试值，得到偏倚量如下:
|
偏倚 |
0.2 |
0.3 |
0.1 |
0.1 |
0 |
-0.1 |
0 |
-0.1 |
-0.4 |
-0.3 |
0 |
-0.1 |
-0.2 |
0.4 |
0 |
现在的问题就是偏倚量的分布，服从以0为中心的正态分布吗？我们要做的是比较一组样本(均值)与目标（0）是否相等，偏倚的总体标准差未知，根据下图选择的工具为单样本t检验。
图四：假设检验工具选择
检验结果如下：
|
单样本 T: 偏倚 mu = 0 与 ≠ 0 的检验 变量 N 均值 标准差 均值标准误 95%
置信区间
T
P 偏倚 15 -0.0067 0.2120 0.0547 (-0.1241, 0.1107) -0.12 0.905 |
检验结果给出了偏倚的均值为-0.0067，标准差为0.2120，置信区间为(-0.1241, 0.1107)，置信区间包括0，也就是说偏倚的服从均值为零的分布，从P值也能看出，不能拒绝H0,这里计算的置信区间与《MSA第三版》计算的稍有差异，是由于小数点选择等方面的误差，不影响我们的判断。在这样的情况下，将统计结论转化为实际结论，我们认为该偏倚是可以接受的。
三、另一个偏倚的例子
一名工厂领班选择了五个代表预期测量值范围的部件。每个部件都通过高级的仪器检查测量以确定其真值。然后，一名操作员将每个部件随机测量了十二次。过程变异为16.5368，问该偏倚和线性是否可以接受。
说明：在第一个例子中，我们只测试了一个标准值6克，因此只能估算偏倚，而这个例子，测量了五个不同位置的标准值，因此可以同时估计线性（仪器测量能力范围内， Accuracy 或Precision 值的差异，也可理解为不同真值附近的偏倚，P182页，此处不展开论述）。
我们采用电脑分析结论如下（有时会考到下图的解读）：
图五：偏倚和线性研究
整体偏倚值为-0.05333，整体偏倚P值0.04，小于0.05，说明过程存在偏倚，且不等于0。
平均值下面说明了对不同真值的样品偏倚的情况，对2和10这两个值得样本，偏倚特别大。而对4和6这两个值偏倚很小（对应的P大于0.05，说明在该真值点，偏倚为0）,%偏倚代表偏倚占过程变异的比例，大约0.3%。
线性2.177735和线性百分率13.2%说明了在测量范围内，测量的偏倚值波动保持在2.177735范围内。根据量具线性系数，可以得出偏倚的回归方程为:
y(偏倚)=0.73667-0.13167x（x为图中参考值）
由于常量和斜率的p值都为零，说明该测量系统存在线性偏倚的问题。（反之P大于0，则不存在线性偏倚问题。）
R-Sq=71.4%也说明了存在问题，根据回归的结论，x的变化会引起y的变化，即不同位置的测量值，会造成偏倚的变化，这也是我们不希望发生的，这一点正好与回归分析中我们希望看到x的变化引起y的变化不一致。因此，在偏倚和线性研究中，我们希望看到R-Sq值小一点，即x的变化不影响偏倚的变化。
另一个判断是否存在线性偏倚的方法是，观察偏倚值为0的这根横线，是否包含在回归直线的置信区间内，我们这个案例中，偏倚值为0的这根横线，与置信带交叉而不是被包含其中。
总结：关于如何判断偏倚和线性的好坏，书中没有明确的结论，应该还是根据企业实际情况来做决定。例如我家的温度计不准，不同的温度计测试结果完全不同，但条件限制，买不起太贵的温度计，只好作罢。
这里给出一个经验值，偏倚要小于10%以内。线性的定义其实与偏倚有关（不同测量值的偏倚），最好也能小于10%(当然有些行业可能要求更高),总之越小越好。
